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鑽孔機的科學原理 : Reuleaux triangle

在台北內湖工作的我，時常可見捷運工程趕工的情況，許多以前沒見過的機械，也紛紛現身。鑽孔機的變化，是讓我比較有興趣的，普通的鑽孔機可鑽出圓孔，像是下圖：
但是基於捷運線路銜接的需要，有許多正四邊形的鑽孔，並且在刀刃的設計，也有其特別處，如圖：

可對應到鑽孔機運作，我們可以發現刀刃切割 (移動) 的範圍，就是所期待正四邊形的形狀，將旋轉的過程分解，可得到下圖：

用餐的時候回憶起高中曾研習過相似的議題，剛剛醒來才找到資料，這鑽孔設計的科學原理就是 Reuleaux triangle。在探討 Reuleaux triangle 前，需要參考 [Curve of constant width]，也就是由等寬弧線構成的幾何，Reuleaux triangle 是其中的特例。先建構正三角形，邊長為 r，以各頂點為圓心作圓：

如此可得覆蓋正三角形區域的範圍：

十九世紀的德國工程師 Franz Reuleaux 廣泛的應用這個幾何原理，作機械應用，並也以 Reuleaux 命名。考慮以下機械設計：

Reuleaux 在這個矩形範圍內旋轉，也可以發現，事實上移動的範圍是圓邊的矩形，該圓邊又是橢圓軌跡的一部分：

給定外圍矩形的頂點座標是 (+/- 1, +/- 1)，可得橢圓方程式：

x = 1 - cos(Beta) - sqrt(3) * sin(Beta)
y = 1 - sin(Beta) - sqrt(3) * cos(Beta)

Beta 的範圍落於 PI/6 與 PI/3 之間：

又由笛卡爾方程式，得知 Reuleaux triangle 涵蓋面積為 2 * sqrt(3) + PI/6 - 3，計算值為 0.9877003907
中心的移動軌跡不見得是圓形，如果改以橢圓軌跡，可得到更大的涵蓋：

Paul Kunkel 提供了 Java applet 作為模擬，可參考 [Reuleaux Triangle]，而他也探討一系列變形的 Reuleaux triangle 可能性。

除了機械應用，真實環境下，英鎊的硬幣就是 [Curve of constant width] 有趣的例子：


推廣到五邊 (Twenty Pence) 與七邊 (Fifty Pence) 的 Reuleaux polygon (2n + 1)。

參考資料：

• Wikipedia - [Reuleaux triangle]
• Daina Taimina & David W. Henderson - [Reuleaux Triangle]
• Whistler Alley Mathematics - [The Sliding Triangle]
• mathworld - [Reuleaux Triangle]

由 jserv 發表於 January 23, 2006 02:10 AM