再探羅塞達碑石 : 連續時間系統與離散系統的橋樑

剛剛用了一點時間翻譯 Jack W. Crenshaw 發表於 Embedded.com 的專欄文章 [More on the Rosetta Stone]，該文用很淺顯的描述，介紹到數位類比與離散時間系統的基本概念，很值得入門參考。

再探羅塞達碑石 / More on the Rosetta Stone

原作： Jack W. Crenshaw
繁體中文翻譯： 黃敬群 (Jim Huang / jserv)
Dec 14 2005 (12:21 PM)
URL: http://www.embedded.com/showArticle.jhtml?articleID=175002472

過去幾個 月，我已經嘗試深入解釋一個原始而又有用的等式，並且我比喻該等式為 「羅塞達碑石」。 [譯注：羅塞達碑石 (Rosetta Stone) 的典故是，1799 年 拿破崙遠征埃及時期，法軍上尉 Pierre-François Xavier Bouchard 在尼羅河 口港灣城市羅塞塔 (Rosetta，今日稱為 el-Rashid) 發現此碑石，自此揭開 古埃及象形文字之謎。羅塞塔碑石製作於公元前 196 年，，原本是一塊刻有 埃及國王托勒密五世召書的碑石，但由於這塊碑石同時刻有同一段文字的三種 不同語言版本，使得近代的考古學家得以在對照各語言版本的內容後，解讀出 已經失傳千餘年的埃及象形文之意義與結構，而成為今日研究古埃及歷史的 重要里程碑。由於是破解埃及象形文這種如謎題般的事物之起始點，「羅塞塔 碑石」也因而被比喻為解決難題或謎題的關鍵線索或工具，本文點題正是取此 引申義。]

(1)

這個等式將我們所在真實世界的連續時間，以及電腦賴以運作的離散時間系統， 巧妙的連結起來。如果讀者之前已經閱讀過這系列的專欄文章，我們已經有了所需 的基本概念：泰勒級數、指數函數，以及綜合除法 [譯注：綜合除法 (synthetic division) 為 nested multiplication，又稱 Horner 法，即中國古代之秦九韶法]。 如果讀者之前沒有接觸，這邊有個簡短的複習。

這裡先以略不同於之前所提的泰勒級數作出發：

(2)

之所以作更動，是因為這一項造成模稜兩可的情況：

這一項我稍早曾使用過，如果逐字解析，可以得到以下語意：

• 首先計算 x = 0 時，f(x) 的值

• 再取其導函數

不過這是錯誤的，因為既然 f(0) 是個常數值，取其導函數就沒有意義 [譯注：恆為 0]。正確的認知應該是：

• 先取 f(x) 的導函數

• 再計算 x = 0 時，導函數的值

論及泰勒級數時，我稍加延遲給予更多的符號更動，好讓讀者熟悉符號的表示 與意義，我希望能更加清楚的表達。不過很顯然，等式 (2) 很難理解，所以我們即刻 將使用這些表示法。

泰勒級數允許我們預測一個函數未來的值 -- 所有的未來值，依據特定點 的值，以及其導函數，也就是探討 x = 0 時。當然，我們還需要除了 x = 0 以外的值，所以我們可略為改變這些變數。

過去我並沒有使用嚴謹的數學，來對這些級數作衍生，但我給了一些解釋與足夠的 範例讓讀者明白。

在看了泰勒級數後，我們觀察了指數函數： e^x，指數函數最基本 的特性就是其導函數等於自身：

(3)

以這個定義作出發，我們使用泰勒級數來表示指數函數：

(4)

如果讀者正在思索這個等式，可以比較等式 (2) 與等式 (4) 相近的表示方式。

最後，讓讀者知道綜合除法，允許我們得到類似這樣的衍生關係：

(5)

讀者不需要透過這個技巧來演繹「羅塞達碑石等式」，將會在稍後當我們應用時，會 派上用場。之前我應該提過，這個級數只適用 |x| < 1 的情況。 There's a moral in here somewhere, which is that elegant math doesn't protect us from stupidity. [譯注：這句話經典，保留不譯以強調之]。如果 |x| >1， 很顯然，級數的每一項將會較之前來得大，所以這個級數將無法涵蓋。

Smooth operators

如果讀者先前有從事過程式設計，我就不必提及 operator 是什麼了。 "+" 是個 operator，而 "-"、"*"，以及 "/" 都算是。簡單來說，一個 operator 使用 一個或一個以上的參數 [譯注：即 operand]，並施加一些操作，該符號告訴我們這些被 操作或運算的對象，做了哪些事情，例如 "+" 告訴我們作加法運算。用 C++ 語言的術語， operator 可以被 overloaded。兩個整數的相加，就像是對兩個浮點數，甚至是複數的加法 相似的途徑，而兩個向量或矩陣的加法則有很大的差異，不過基本的涵義可以說是一致。

概念上來說，這是相當具有威力的。中心思想就是，我們不需要關心 operand 到底是什麼 值、什麼型態。如此一來，"1 + 1" 的加法運算，可以說是跟 "1.23456 + 6.54321" 在概念 上一致的。

現在，這部份就是關鍵：與 operator 關聯者，就是一組施加於 operand 的操作與運算。 一旦得知這些規則後，到底你使用什麼符號就不是這麼重要了，我可以輕易的使用這樣的 表示法：

x banana y

(6)

而不是 x + y 一類的，只要我們認可 "banana" 是個 operator。

本文將會注意到導函數的符號，就如讀者所知，這個符號：

意味著對函數 f(x) 做了某種運算，而在這個例子來說，是計算函數曲線 的斜率，或是至少在一個範圍內，x 的值。不過很明顯 [譯注：「很明顯」這個用詞， 總讓譯者想到數學界的一代宗師高斯所發表的數學文獻中，有些惱人的字眼：「現在我們就 得到...」或是「現在我們明顯可見...」一類的用詞，忽略在導入結論中，那些繁複的過程， 譯者很希望譯文中不要有太多這類的「黑盒子」]，我們可以使用這些不同的表示法，其涵義 是一樣的：

像是：

(7)

(最後一個是特例，在物理學上，當獨立的變數為時間時，可以簡化表示為此) 我將會述及， 如果我們使用其他的表示法，泰勒級數可以更加簡便。任何階的導函數可以被更低階的導函數所 定義：

(8)

現在，我希望讀者可以同意符號的使用並不會影響要表達的意思，現在我將要引入一個同義 單元： D，讀者可以同意其定義方式為：

(9)

就如之前所說，只要讀者認同 D 表示「對獨立變數取微分」的操作運算 [譯注：或 者，operator]，就很清楚了。正如等式 (8)，我們也必須認可這個寫法：

(10)

有了這個定義，我們可以改寫等式 (2) 為：

(11)

現在我們來到相當精彩的部份了。想像一下，可以對函數本身找出自己的因式：

(12)

啊？！發生什麼事情，這怎麼可能呢？我們可以指派一個 operator 來取得 operand 的 因數嗎？當然可以，就像是這樣：

(13)

我們也已經同意，一個 operator 可在任何 operand 施加操作，所以等式 (12) 的意思 等同於等式 (11)，也就是：取得 f(x) 的多階導函數，並且計算 x = 0 的 值。而我們只是稍加簡化符號使用的形式。

現在我們看看括號中級數的形式，在等式 (12) 中，這等同於指數函數的形式，因此我們可以 這樣改寫：

(14)

如果泰勒級數的因式 operator 表示法讓讀者覺得很難接受，取指數的 operator 必定更加 打擊讀者。記住：符號本身沒有太大的意義，等式 (11) 與 (14) 的表示是一致的，因為我們 已經建立表示法的規範。等式 (14) 並未能減輕我們的負擔，只是讓我們得以透過更精簡的方式， 來作表示。

The importance of being discrete
前面所及的，是 f(x) 在連續系統中的行為，而現在我們要來探討不連續的情況。 前面已經提過「羅塞達碑石等式」，是聯繫連續時間系統與離散時間系統的橋樑。相當清楚，獨立 的變數不必是時間，在目前所提到的等式中，我有計畫的使用更一般性的變數： x。我們 使用時間作探討的原因是，在嵌入式系統中，對電腦運算更有意義。

現在假設我們有一台嵌入式的電腦，該電腦裝置對應到真實、實體的系統：車子的導航控制 系統。我們可以讓車子的時速表產生正比於車速的電壓變化，並且電腦可以透過數位類比轉換 (A/D converter) 來取得該電壓資料。而這個電壓變化，如同車速，是時間的連續函數： v(t)，關係圖如下圖 (一)：

儘管電壓變化是連續性的，但對於電腦來說，並非如此，電腦只能從數位類比轉換中，讀取 特定的數值，並且受軟體設計的控制。這些由電腦處理的數值，原本在圖 (一) 以點表示，我姑且 稱他們為： y⁰,y¹, . . . yⁿ。為了紀錄，這些數列並非無限長的延伸下去，有可能在長時間的紀錄後， 現在這個時間的車速就不再保存。現在，我們稱為目前時間為： tⁿ。

一般來說，這並不足以知道每一個時間點所測量的電壓變化，我們也必須知道測量過程中的 時間點。以數學的術語來說，圖 (一) 中每個黃色點，表示一個 ordered pair, {t_i,y_i}。為了徹底表示量測的 資料，我們必須一併保存量測到的電壓變化與時間值，這樣的資料稱為「以時間為標記的 資料」。

然而，在圖 (一) 中，我們可以發現，這些測量是在一定間隔 Δt 取得的，如果 可以的話，我們總是這麼作，因為如果不在一定間隔測量，數學運算會複雜許多。對於所有讀者 可能會感興趣的控制系統，測量的間隔僅可能會一致，在這樣的案例來說，我們不需要儲存時間 標記，因為我們可由下面的式子計算：

(15)

當以「羅塞達碑石 operator」處理時，讀者可以放心的假設時間間隔總是一致的。

現在，重要的部份：表示電壓變化 v(t) 測量的數列 y_n 會 變化，電壓變化是由平滑曲線所表示的連續時間函數，然而測量值 y_n 是一組 離散的數列，對應到特定的時間點。對電腦來說，探討像是 y_4.5 的測量值， 沒有意義，因為測量結果不存在。

換句話說，我們嘗試著控制以連續時間系統變化的裝置，我們想要控制 v(t)， 而非 y_n。這也就是在連續與離散世界中的關係，我們僅能在離散的時間點測量 電壓變化，但是我們必須使用這些測量值，去推測連續時間相關的函數。所以，這是「羅塞達碑石」 出現之處。

Back to the Taylor Series
現在，讓我們回到泰勒級數，稍早已經簡化成等式 (14) 的形式。

為了簡化，我一貫假設展開式在大約 x = 0 的點。很顯然，方程式對其他起始點來說， 還是成立的。我們可以對變數略作些更動，定義以下：

(16)

於是：

並且：

(17)

將這些代入等式 (14) 可得：

(18)

我們只需要再三個步驟。第一個並不重要，只是以測量階段的大小值 h 來 替代 Δt，這裡不解釋為何要使用 h 而非 Δt。 原因消失在時間的迷霧中，但這個符號在絕多數的數值計算教科書被採用，所以我延續 這個傳統。

第二步是精巧且微妙的。記得之前提過所測量的數值 {y₀, y₁, ..., y_n}，都是在時間 {t₀, t₁, ..., t_n} 的 v(t) 函數值， 也就是：

(19)

這看來更合理，然後改寫等式 (18) 為：

(20)

What does it mean?
永遠別忘記表示法本身的意義，再說一次，我們試著讓表示法更簡潔，但必須要能夠被理解， 像是簡化的版本，要能夠被理解為與原本泰勒級數相似。更明確來說， 像是 Dy_n 的項會被理解為：

• 首先，取得 v(t) 的導函數

• 再來計算當 t =t_n 時，導函數的值

看到這裡，讀者或許會問：「但是我該如何得到導函數？我現在只測量電壓變化」， 真實世界中，我們的確不知道 v(t) 的導函數，因為我們不可能知道 [譯注： 世事難料，誰知道下一秒車速會受到什麼新的變因影響？]。等式 (20) 看來就有點無用，但 並非如此，讀者將會在稍後發現。

直到現在，我們沒有發明什麼新東西。等式 (18) 就跟等式 (2) 一樣，只是看起來比較 複雜罷了，但是我們可以速記等式 (18)，作稍後使用。

Oliver Heaviside 大約在 1885 年發明「應用微積分」(operational calculus) 的一 系列方法，對當時數學界引發很大的討論，純數學家叫囂說那些方法不嚴謹，沒辦法透過 數學途徑來驗證完備性。隨著時間消逝，科學家持相反的意見，純數學家還是認定那些在 數學上是不完備的，但物理學家與應用數學家欣然採納這方法，以便得到實用的答案。 最後，某人建構一個完備的數學證明，終結了長久的辯論。

在處理類似等式 (18) 與 (20) 時，Oliver Heaviside 注意到，儘管像是 D 的符號清楚 表示特定的操作 operator，他還是可以對這些 operator 施加代數運算，就像一般的代數 運算一般，而且他總是獲得正確的結果。這是應用微積分的中心思想。

既然 Oliver Heaviside 沒辦法證明他的操作在數學上是完備的，讀者可以理解為何 數學家過去對此相當敏感，但是 Oliver Heaviside 不介意，反正他總是得到答案。

Introducing z
稍後才會探討等式 (20) 的益處，而現在，讓我們來看看 transformation [譯注：讀者 看到 "z" 與 "transformation"，或許會聯想到離散時間系統的 Z-transform，將一個離散 的訊號，從 time domain 轉換成 frequency domain，不過作者這裡並不直接述及這部份]。 z operator 是一個處理離散資料的表格的 operator，而非處理連續系統的函數，其目標是 在置放離散資料的表格中，一步接著一步推動「指標」，也因此，定義為：

(21)

如果 z 讓我們在資料集合中，推進一個項目，讀者應該可以理解其相反的 操作 z^-1 則是逆向推進一個項目。而逆向的操作會比正向 z operator 操作來得有用，因為我們跟電腦都不能預知未來，我們無法在上一次測量的資料流中，得知 下一個項目。如果 y_n 表示上一次的測量， 那麼 y_n+1 還未發生。 相反地，我們可輕易得知 y_n-1, y_n-2, 或者 更前面的項目。我們所必須要做的，就是查看在資料流中，較舊的那些項目。控制系統一類 的應用稱 z_-1 為 unit delay，因為該操作讓資料陣列反向一個或以上的 位置。

我們現在位於泰勒級數轉換為「羅塞達碑石」的最後一階段，替換等式 (21) 左邊的項為 等式 (20)，我們得到：

(22)

我們得到有趣的結果：z 與 e^hD 兩者都是 operator，對位於 離散表格中的值 y_n 進行操作與運算，但是 operand 在等式兩側都是一致 的，所以，透過 Heaviside 提出的方法，我們可以將 y_n 因數抵銷，這樣 就得到「羅塞達碑石等式」的形式：

(23)

Manipulating operators
現在我們已經跨越了重要的藩籬，等式 (22) 顯示兩種不同對 y_n 的操作， 而等式 (23) 則了無參數，只包含 operator 而無 operand，這是應用 Heaviside 提出的方法。 他建議我們可以如代數運算般，處理 operator，而不必注意我們現在處理的到底為何，這真的不是 很原始的概念。在這之後，我們思考像是 "+" 一類簡單的 operator，但是我們卻可以轉換成不同 的型態，並保有處理對象的正確性，這是十分有用的。

我們將在未來的專欄文章探討其他的使用，而目前來說，我將要給讀者看一個轉換，這也是 為何我們不必為不知悉 v(t) 的導函數而擔憂。

如果 Heaviside 提出的方法是正確的，而且我們可以對這些 operator 作處理，我們就可以 解等式 (22) 的 D，得到：

或

(24)

先讓這些 operator 如過去一般，在 y_n 施加運算處理：

(25)

看看什麼出現在等式左邊： y_n 那些複雜的導函數 (或者，更精確來說， t_n 代入的值)，我們所擁有的，就是數值微分的公式。 在 v(t 給定的測量值 y_n，我們可以藉由存放於離散資料 表格中的操作，找出其導函數。

看來很棒，不是嗎？當然，讀者一定想知道我們如何計算施加於 y_n 的 operator ln(z)，答案是：與我們在等式 (22) 所作的運算一樣，延展該函數 為指數數列，現在就是在 z 的時間，並套用在 y_n 的操作上。

Where have we been?
讓我們回顧所作的一切，我從泰勒級數作出發，並且給予讀者足夠的範例，再來，我簡約成 等式 (22) 的形式，這是透過泰勒級數與 e^x 指數級數之間的相似性。 而後，藉由 Heavisid 的應用微積分的啟發，我給予讀者 "naked operator" 的形式，而這 正是我們的「羅塞達碑石」。最後，我注意到，一旦我們得到這個形式，就可以用代數運算 的方式，來對 operator 進行處理，這也導出其他關聯性。

我將會在日後的專欄中，給予讀者看些例子，並且會探討等式 (25) 進行數值微分的應用， 也會給讀者積分與內插的公式，這些都衍生自等式 (24)，再會！

Jack Crenshaw is a senior software engineer at General Dynamics and the author of Math Toolkit for Real-Time Programming, from CMP Books. He holds a PhD in physics from Auburn University. E-mail him at jcrens@earthlink.net.

由 jserv 發表於 February 4, 2006 08:29 PM